Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Passaggio 3.3.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{y}}{2}$ nel numeratore.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$5 - e^{y} = 2 x$

Passaggio 3.4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Passaggio 3.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{y} = 2 x - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- e^{y} = 2 x - 5$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (2 x)$ come $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 3.5.3.1.4

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Passaggio 3.6

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Passaggio 3.7

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Passaggio 3.7.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Passaggio 3.7.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Passaggio 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{x}}{2}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Passaggio 5.2.3.7.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.7.3

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Passaggio 5.2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Passaggio 5.2.3.9

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $- 5 + e^{x} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.5

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (- 2 x + 5))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Passaggio 5.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Combina i termini opposti in $5 + 2 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 5.3.4.1.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$